Question

8．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}（{ω＞0}）$的图象上两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{4}$．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{8}$个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的表达式为sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），再根据图象上两相邻对称轴间的距离可求正周期，利用周期公式求得ω，从而求得f（x）的表达式．由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的单调递减区间．
（2）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，可得g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），由正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 解：（1）∵$f（x）=\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}（{ω＞0}）$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
∵图象上两相邻对称轴间的距离为$\frac{π}{4}$．
∴f（x）的最小正周期T=$\frac{π}{2}$．
∴$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{π}{2}$．
∴ω=2．f（x）=sin（4x+$\frac{π}{6}$），
∴由2kπ+$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，可解得f（x）的单调递减区间为：[$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）将f（x）的图象向右平移个$\frac{π}{8}$个单位后，得到y=sin（4x-$\frac{π}{3}$）的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象．
所以g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
因为0≤x≤$\frac{π}{2}$，
所以2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．
∴g（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，
∴g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为1和最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．