Question

17．设a，b，c∈R，证明：a²+ac+c²+3b（a+b+c）≥0．

Answer 1

分析 将b看作主元，配方，再由完全平方数非负，即可得证．

解答 证明：a²+ac+c²+3b（a+b+c）
=3b²+3b（a+c）+a²+ac+c²
=3（b+$\frac{a+c}{2}$）²-$\frac{3}{4}$（a+c）²+a²+ac+c²
=3（b+$\frac{a+c}{2}$）²+$\frac{1}{4}$（a²-2ac+c²）
=3（b+$\frac{a+c}{2}$）²+$\frac{1}{4}$（a-c）²≥0．
即有原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，考查配方法的运用和非负数的概念，考查运算能力，属于中档题．