Question

3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=3t+a}\end{array}\right.$，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）若直线l过点（2，3），求直线l被圆C截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）运用极坐标和直角坐标的关系，结合两角和的余弦公式，化简即可得到；
（2）求得圆的圆心和半径，运用弦长公式和点到直线的距离公式，计算即可得到所求距离．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），
即为ρ=2$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ）=2cosθ-2sinθ，
即ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
即有x²+y²-2x+2y=0；
（2）直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=3t+a}\end{array}\right.$，
化为普通方程为y=3x+a，
直线l过点（2，3），即有a=3-6=-3，
则直线l的方程为y=3x-3，
圆C的圆心为（1，-1），半径为$\sqrt{2}$，
圆心到直线的距离d=$\frac{|3-3+1|}{\sqrt{1+9}}$=$\frac{1}{\sqrt{10}}$，
即有直线l被圆C截得的弦长为2$\sqrt{2-\frac{1}{10}}$=$\frac{\sqrt{190}}{5}$．

点评 本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆的位置关系，以及弦长公式的运用，属于中档题．