Question

10．如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别为BC和AD的中点．
求：（1）CF与平面BCD所成的正弦角．
（2）AE与CF所成的角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据ABCD为正四面体，可设底面BCD的中心为O，连接DE，并过O作MN∥BC，从而可以看出ON，OD，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，然后可确定图形上一些点的坐标，从而求出向量$\overrightarrow{CF}，\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{AE}$的坐标．可以看出$\overrightarrow{OA}$为平面BCD的一条法向量，设CF和平面BCD所成角为θ，根据sinθ=$|cos＜\overrightarrow{CF}，\overrightarrow{OA}＞|$即可求出sinθ；
（2）根据$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|}$即可求出向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}$所夹角的余弦值，从而对求得的余弦值取绝对值便可得出AE与CF所成角的余弦值．

解答 解：设底面BCD的中心为O，连接DE，则O在DE上，过O作MN∥BC，分别交BD，CD于M，N，则：
ON，OD，OA三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设该正四面体的棱长为1，则：
O（0，0，0），D（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），A（0，0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），F（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），C（$\frac{1}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{6}，0$），E（0，$-\frac{\sqrt{3}}{6}$，0）；
∴$\overrightarrow{CF}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{3}，\frac{\sqrt{6}}{6}）$，$\overrightarrow{OA}=（0，0，\frac{\sqrt{6}}{3}）$，$\overrightarrow{AE}=（0，-\frac{\sqrt{3}}{6}，-\frac{\sqrt{6}}{3}）$；
∴（1）$\overrightarrow{OA}$是平面BCD的法向量，设直线CF和平面BCD所成角为θ，则：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{CF}，\overrightarrow{OA}＞|$=$\frac{|\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{OA}|}{|\overrightarrow{CF}||\overrightarrow{OA}|}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}•\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
∴CF与平面BCD所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
（2）$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{2}{3}}•\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}}$=$-\frac{2}{3}$；
∴AE与CF所成的角的余弦值为$\frac{2}{3}$．

点评 考查正四面体的概念，三角形重心的性质，正三角形中心的概念，以及通过建立空间直角坐标系，利用空间向量解决线面角及线线角的问题的方法，能求空间点的坐标，根据点的坐标可求向量坐标，平面法向量的概念，向量夹角余弦的坐标公式，清楚向量夹角和线面角及异面直线所成角的关系．