Question

5．在平面四边形ABCD中，向量$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$=（4，1），$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{BC}$=（3，1），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{CD}$=（-1，-2）
（!）若向量（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）与向量（$\overrightarrow{b}$-k$\overrightarrow{c}$）垂直，求实数k的值；
（2）若$\overrightarrow{DB}$=m$\overrightarrow{DA}$+n$\overrightarrow{DC}$，求实数m，n．

Answer 1

分析 （1）利用向量垂直与数量积的关系即可得出；
（2）利用向量的坐标运算、向量相等即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（10，3），$\overrightarrow{b}$-k$\overrightarrow{c}$=（3+k，1+2k），
∵向量（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）与向量（$\overrightarrow{b}$-k$\overrightarrow{c}$）垂直，
∴（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{b}$-k$\overrightarrow{c}$）=10（3+k）+3（1+2k）=0，
解得k=-$\frac{33}{16}$．
（2）$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}$=（1，2）-（3，1）=（-2，1）．
$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}$=（1，2）+（-3，-1）+（-4，-1）=（-6，0）．
若$\overrightarrow{DB}$=m$\overrightarrow{DA}$+n$\overrightarrow{DC}$，
∴（-2，1）=m（-6，0）+n（1，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2=-m+n}\\{1=2n}\end{array}\right.$，
解得m=$\frac{5}{2}$，n=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了向量垂直与数量积的关系、向量的坐标运算、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．