Question

15．设函数f（x）=a²lnx-x²+ax，a＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求所有实数a，使e-1≤f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立．注：e为自然对数的底数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，利用导函数的符号，推出函数的单调区间．
（2）利用（1）的结果，通过函数恒成立，转化为不等式组，即可求出a的值．

解答 解：（1）因为f（x）=a²lnx-x²+ax，其中x＞0，
所以f′（x）=$\frac{a2}{x}$-2x+a=-$\frac{（x-a）（2x+a）}{x}$．（2分）
由于a＞0，所以x∈（0，a），f′（x）＞0；x∈（a，+∞），f′（x）＜0；
f（x）的增区间为（0，a），减区间为（a，+∞）．   （4分）
（2）由题意得：f（1）=a-1≥e-1，即a≥e．（6分）
由（1）知f（x）在[1，e]内单调递增，
要使e-1≤f（x）≤e²对x∈[1，e]恒成立，（8分）
只要$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=a-1≥e-1}\\{f（e）={a}^{2}-{e}^{2}+ae≤{e}^{2}}\end{array}\right.$
解得a=e．（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调区间以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题的能力．