Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA₁=AB=2，E为棱AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C₁⊥CE；
（Ⅱ）求二面角B₁-CE-C₁的正弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：

分析：（Ⅰ）以点A为原点，AD为x轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B₁C₁⊥CE．
（Ⅱ）求出平面CC₁E的法向量和平面B₁CE的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-CE-C₁的正弦值．

解答： （Ⅰ）以点A为原点，AD为x轴，建立空间直角坐标系，
则B₁（0，2，2），C₁（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0），

B1C1

=（1，0，-1），

CE

=(-1，1，-1)，

B1C1

•

CE

=0，∴B₁C₁⊥CE．
（Ⅱ）由题设知B₁C₁⊥平面CC₁E，
∴平面CC₁E的法向量

B1C1

=(1，0，-1)，
设平面B₁CE的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • CE =-x+y-z=0 n • B1C =x-2y-z=0

，
令z=-1，则

n

=(3，2，-1)，
设二面角B₁-CE-C₁的平面角为α，
则cosα=cos＜

B1C1

，

n

＞=

2

7

，
∴sinα=

21

7

．
∴二面角B₁-CE-C₁的正弦值为

21

7

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．