Question

在四棱锥P-ABCD中，AB⊥CD，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，AB=

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AD，直线PA与底面ABCD成60°角，M、N分别是PA、PB的中点．
（1）求证：直线MN∥平面PDC；
（2）若∠CND=90°，求证：直线DN⊥直线PC；
（3）求二面角P-MN-D的大小．

Answer 1

分析：（1）由三角形中位线定理，证出MN∥AB，从而MN∥CD．结合线面平行判定定理，即可直线MN∥平面PDC；
（2）由PD⊥底面ABCD且直线PA与底面ABCD成60°，结合题中数据证出PD=BD=

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AD．因此△PBD的中线DN⊥PB，结合DN⊥CD，证出直线DN⊥平面PBC，从而证出直线DN⊥直线PC；
（3）根据前面的证明，可得AB⊥平面PAD，结合MN∥AB得MN⊥平面PAD，从而MN⊥PM且MN⊥DM，即∠PMD为所求二面角P-MN-D的平面角．再由已知条件算出△PMD为底角等于30°的等腰三角形，可得∠PMD=120°，即得二面角P-MN-D的大小．

解答：解：（1）∵M、N是PA、PB中点，∴MN∥AB，从而MN∥CD．
∵MN在平面PDC外，CD在平面PDC内，
∴直线MN∥平面PDC．
（2）∵AB⊥AD，AB=

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AD，∴BD=

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AD．
∵PD⊥底面ABCD，∴直线PA与底面ABCD成60°，可得∠PAD=60°，
Rt△PAD中，PD=

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AD，可得PD=BD．
∵N是PB的中点，∴DN⊥PB．
∵∠CND=90°，∴DN⊥CD．
∵PB、CN相交于一点，∴直线DN⊥平面PBC，
∵直线PC?面PBC，∴直线DN⊥直线PC．
（3）由已知AB⊥AD，AB⊥PD，
∵PD、AD相交于一点D，∴AB⊥平面PAD，
又∵MN∥AB，∴MN⊥平面PAD．
∴结合PM、DM是平面PAD内的直线，可得MN⊥PM，MN⊥DM，
∴∠PMD为所求二面角P-MN-D的平面角．
由已知∠PAD=60°，可得∠MPD=30°，
∵DM是Rt△PDA斜边PA的中线，∴MD=MP，
∴△PMD为等腰三角形，可得∠PMD=120°．
即二面角P-MN-D的大小为120°．

点评：本题在四棱锥中求证线面平行、线面垂直，并求二面角的大小．着重考查了空间平行、垂直位置关系的证明方法和二面角的定义及其求法等知识，属于中档题．