Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=2

2

，∠PAB=60°．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由勾股定理逆定理，结合题中的数据得到AD⊥PA，又AD⊥AB，PA、AB是平面PAB内的相交直线，所以AD⊥平面PAB；
（2）分别以AB、AD为x、y轴建立如图坐标系，可得P、B、D各点的坐标，从而得到

PD

=（-1，2，-

3

），

PB

=（2，0，-

3

），算出平面PBD的一个法向量为

n

=（2

3

，3

3

，4），结合平面PAB的一个法向量为

AD

=（0，2，0，利用空间向量的夹角公式算出

AD

，

n

夹角余弦，即得二面角A-PB-D的余弦值．

解答：解：（1）在△PAD中，由题设PA=AD=2，PD=2

2

，可得
PA²+AD²=PD²，于是AD⊥PA…（3分）
∵在矩形ABCD中，AD⊥AB，PA、AB是平面PAB内的相交直线
∴AD⊥平面PAB；…（6分）
（2）∵AD⊥平面PAB，AD?平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAB
分别以AB、AD为x、y轴建立如图坐标系，
根据平面ABCD⊥平面PAB且∠PAB=60°得P（1，0，

3

），B（3，0，0），
D（0，2，0）…（9分）
∴

PD

=（-1，2，-

3

），

PB

=（2，0，-

3

）
设平面PBD的一个法向量为

n

=（x，y，z），
∴

n • PB =2x- 3 z=0 n • PD =-x+2y- 3 z=0

，取x=2

3

，得

n

=（2

3

，3

3

，4），
又∵平面PAB的一个法向量为

AD

=（0，2，0）…（11分）
∴cos＜

AD

，

n

＞=

AD • n

| AD |•| n |

=

6 3

55 •2

=

3 165

55

因此，二面角A-PB-D的余弦值等于

3 165

55

…（13分）

点评：本题在四棱锥中求证线面垂直，并求二面角的余弦之值，着重考查了直线与平面垂直的判定和用空间向量求平面间的夹角等知识，属于中档题．