Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M，N分别为PC、PB的中点．
（1）求证：PB⊥DM；
（2）求BD与平面ADMN所成角的大小；
（3）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

分析：（1）以A点为坐标原点，以AB，AD，AP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，求出向量

PB

，

DM

的坐标，然后根据两向量数量积为0，两向量垂直，即可得到PB⊥DM；
（2）求出直线BD的方向向量，及平面ADMN的法向量，代入直线与平面夹角的向量公式，即可求出求BD与平面ADMN所成角的大小；
（3）求出平面BPC和平面DPC的法向量，代入直二面角的向量公式，即可求出二面角B-PC-D的大小．

解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），
P（0，0，2）．（2分）
（1）因为M为PC的中点，所以M（1，

1

2

，1）.

PB

=(2，0，-2)，

DM

=(1，-

3

2

，1)．（3分）
因为

PB

•

DM

=2+0-2=0，所以PB⊥DM．（5分）
（2）

AD

=(0，2，0)，

DB

=(2，-2，0)．
因为

PB

•

AD

=0，所以PB⊥AD．
又由（1）知PB⊥DM，且AD∩DM=D，所以PB⊥平面ADMN，
即

PB

为平面ADMN的法向量．（6分）
因此＜

PB

，

DB

＞的余角等于BD与平面ADMN所成的角．（7分）
因为cos＜

PB

，

DB

＞=

PB • DB

| PB || DB |

=

1

2

，所以＜

PB

，

DB

＞=

π

3

，（8分）
所以BD与平面ADMN所成的角

π

6

．（9分）
（3）

PB

=(2，0，-2)，

BC

=(0，1，0)，设平面PBC的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，则
由

PB • n1 =0 BC • n1 =0

得

2x1-2z1=0 y1=0

解得

x1=z1 y1=0.

令z₁=1，得

n1

=(1，0，1)．（10分）

PD

=(0，2，-2)，

DC

=(2，-1，0)，设平面PCD的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，则
由

PD • n2 =0 DC • n2 =0

得

2y2-2z2=0 2x2-y2=0

解得

x2= 1 2 z2 y2=z2.

令z₂=2，得

n2

=(1，2，2)．（11分）
因为cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

2

，（12分）
所以，依题意可得二面角B-PC-D的大小为

3π

4

．（14分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，用空间向量求平面间的夹角，其中建立恰当的空间直角坐标系，求出对应直线的方向向量及平面的法向量，是解答本题的关键．