Question

9．设f（x）=$\sqrt{4{x}^{2}-4x+1}+\sqrt{1-2x+{x}^{2}}$
（1）解不等式f（x）≥x+4．
（2）对任意的x，不等式f（x）≥（m²-3m+3）•|x|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分情况将原不等式绝对值符号去掉，然后求解；
（2）分x=0与x≠0两种情况研究：当x=0时，显然成立；当x≠0时，两边同除以|x|，然后求出左边的最小值，解关于m的不等式即可．

解答 解：（1）f（x）=|2x-1|+|x-1|，
当x≤$\frac{1}{2}$时，原不等式可化为-（2x-1）-（x-1）≥x+4，解得x≤-$\frac{1}{2}$；
当$\frac{1}{2}$＜x≤1时，原不等式可化为2x-1-（x-1）≥x+4，即1≥4，无解；
当x＞1时，原不等式可化为2x-1+x-1≥x+4，解得：x≥3；
综上可得，原不等式的解集为{x|x≤-$\frac{1}{2}$或x≥3}．
（2）当x=0时，原不等式为2≥0，显然恒成立；
当x≠0时，原不等式两边同除以|x|，则不等式可化为：
|2-$\frac{1}{x}$|+|$\frac{1}{x}$-1|≥m²-3m+3恒成立．
因为|2-$\frac{1}{x}$|+|$\frac{1}{x}$-1|≥|（2-$\frac{1}{x}$）+（$\frac{1}{x}$-1）|=1．
所以要使原式恒成立，只需m²-3m+3≤1即可，即m²-3m+2≤0．
解得1≤m≤2．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式恒成立问题的解题思路，一般的不等式恒成立问题要转化为函数的最值问题来解．本题还考查了分类讨论思想的应用．