Question

18．求下列函数的反函数
（1）y=x²-2x-3（x≤-2）；
（2）y=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$（x≥1）；
（3）y=1-3log₅（x²+1）（x≥3）；
（4）y=log₃$\frac{2-x}{2+x}$；
（5）y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{4}{2-x}$，x∈（-∞，1）

Answer 1

分析 （1）（2）（3）（4）（5），首先求出原函数的值域，把原函数表达式看做方程，用y表示x，再把x与y互换，即可得出原函数的反函数及其定义域（即原函数的值域）．

解答 解：（1）由y=x²-2x-3=（x-1）²-4，（x≤-2）；解得x-1=-$\sqrt{y+4}$，y≥5．把x与y互换可得：y=1+$\sqrt{x+4}$，∴圆满函数的反函数是：y=1+$\sqrt{x+4}$ （x≥5）．
（2）∵x≥1，∴2^x≥2，由y=$\frac{{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$∈$[\frac{4}{5}，1）$，解得：2^x=$\frac{y}{1-y}$，即x=$lo{g}_{2}\frac{y}{1-y}$，把x与y互换可得原函数的反函数：y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$，x∈$[\frac{4}{5}，1）$．
（3）由y=1-3log₅（x²+1）（x≥3），解得：x=$\sqrt{{5}^{\frac{1-y}{3}}-1}$，把x与y互换可得原函数的反函数：y=$\sqrt{{5}^{\frac{1-x}{3}}-1}$（x≤1-3log₅10）．
（4）由$\frac{2-x}{2+x}$＞0，解得-2＜x＜2．由y=log₃$\frac{2-x}{2+x}$，化为：$\frac{2-x}{2+x}$=3^y，解得x=$\frac{2-2•{3}^{y}}{1+{3}^{y}}$，把x与y互换可得原函数的反函数：y=$\frac{2-2•{3}^{x}}{1+{3}^{x}}$，x∈R．
（5）∵x∈（-∞，1），∴$\frac{4}{2-x}$∈（0，4），∴y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{4}{2-x}$∈（-2，+∞），由y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{4}{2-x}$，解得：x=2-2^y+2，把x与y互换可得原函数的反函数：y=2-2^x+2，x∈（-2，+∞）．

点评 本题考查了函数的反函数的求法、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．