Question

8．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}-2x+13，x∈[{0，1}）}\\{xlnx，x∈[{1，2}）}\end{array}}$，若当x∈[-4，-2）时，函数f（x）≥t²+2t恒成立，则实数t的取值范围为（　　）

• A． -3≤t≤0
• B． -3≤t≤1
• C． -2≤t≤0
• D． 0≤t≤1

Answer 1

分析 根据题意可知f（x+4）=4f（x），当x∈[-4，-2）时，x+4∈[0，2），根据区间内的表达式求出f（x+4）的最小值，得出f（x）的最小值，进而求出m的范围．

解答 解：f（x+2）=2f（x），
∴f（x+4）=4f（x），
∴f（x）=$\frac{1}{4}$f（x+4），
当x∈[-4，-2）时，x+4∈[0，2），
当x∈[0，1）时，函数递减，最小值为12，
当x∈[1，2）时，函数递增，最小值为0，
∴f（x）的最小值为$\frac{1}{4}$×0=0，
∴0≥t²+2t，
∴-2≤t≤0，
故选C．

点评 考查了抽象函数的性质应用和恒成立问题的转化．