Question

18．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知$a=1，b=2，cosC=\frac{1}{4}$．
（1）求△ABC的周长和面积；
（2）求cos（A+C）的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．
（2）利用正弦定理可得sinA，进而得到cosA，利用和差公式即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，由余弦定理${c^2}={a^2}+{b^2}-2abcosC=1+4-4×\frac{1}{4}=4$，解得c=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．
又∵$cosC=\frac{1}{4}$，∴$sinC=\sqrt{1-{{cos}^2}C}=\sqrt{1-{{（{\frac{1}{4}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
则${S_{△abc}}=\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}•2•1•\frac{{\sqrt{15}}}{4}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．
（2）由正弦定理知∴$sinA=\frac{asinC}{c}=\frac{{\frac{{\sqrt{15}}}{4}}}{2}=\frac{{\sqrt{15}}}{8}$，
∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角，∴$cosA=\sqrt{1-{{sin}^2}A}=\sqrt{1-{{（{\frac{{\sqrt{15}}}{8}}）}^2}}=\frac{7}{8}$，
∴cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=$\frac{7}{8}×\frac{1}{4}-\frac{{\sqrt{15}}}{8}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}=-\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．