Question

8．已知正项数列{a_n}的前n项和为S_n，${S}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）$，n∈N^*．
（Ⅰ）求通项a_n；
（Ⅱ）若${b}_{n}=\frac{1}{{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，a1=S1，n≥1时，a_n+1=S_n+1-S_n，化简整理，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${S}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）=\frac{1}{2}n（n+1）$，可得${b}_{n}=\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ） ${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}（{a}_{1}+1）$，a₁＞0，
解得a₁=1…（1分）
?n∈N^*，${a}_{n+1}={S}_{n+1}-{S}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n+1}（{a}_{n+1}+1）-\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）$ …（2分）
移项整理并因式分解得：（a_n+1-a_n-1）（a_n+1+a_n）=0…（4分）
因为{a_n}是正项数列，所以a_n+1-a_n-1=0，a_n+1-a_n=1…（5分）
{a_n}是首项a₁=1、公差为1的等差数列，a_n=n…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得${S}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n}（{a}_{n}+1）=\frac{1}{2}n（n+1）$ …（7分）
${b}_{n}=\frac{1}{{S}_{n}}=\frac{2}{n（n+1）}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}$，…（8分）
${T}_{n}={b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}=（\frac{2}{1}-\frac{2}{2}）+（\frac{2}{2}-\frac{2}{3}）+…+（\frac{2}{n}-\frac{2}{n+1}）$，…（10分）
=$（\frac{2}{1}-\frac{2}{n+1}）=\frac{2n}{n+1}$．…（12分）

点评 不同考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式，考查等差数列的通项公式的运用，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．