Question

3．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，关于x的不等式f²（x）-af（x）＞0有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln2}{2}$）
• B． [$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln3}{3}$）
• C． （$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln2}{2}$]
• D． （$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln3}{3}$]

Answer 1

分析 根据f（x）的单调性，通过讨论a的符号，解关于f（x）的不等式结合不等式解的个数，求出n的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，
令f′（x）＜0，解得：x＞e，
∴f（x）的递增区间为（0，e），递减区间为（e，+∞），
故f（x）的最大值是f（e）=$\frac{1}{e}$，
x→+∞时，f（x）→0，x→0时，x→-∞，f（1）=0，
故在（0，1）时，f（x）＜0，在（1，+∞）时，f（x）＞0，
∴a＜0时，由不等式f²（x）-af（x）＞0得f（x）＞0或f（x）＜a，
而f（x）＞0的解集为（1，+∞），整数解有无数多个，不合题意；
a=0时，由不等式f²（x）-af（x）＞0，得f（x）≠0，解集为（0，1）∪（1，+∞），
整数解有无数多个，不合题意；
a＞0时，由不等式f²（x）-af（x）＞0，得f（x）＞a或f（x）＜0，
∵f（x）＜0的解集为（0，1）无整数解，
若不等式f²（x）-af（x）＞0有且只有三个整数解，
∵f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
而2＜e＜3，f（2）=f（4），
所以，三个正整数为3，4，5，而f（4）=$\frac{ln2}{2}$，
综上，实数a的取值范围是[$\frac{ln5}{5}$，$\frac{ln2}{2}$），
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．