Question

14．从一块短轴成为2m的椭圆形板材中截取一块面积最大的矩形，若椭圆的离心率为e，且e∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{5}$]，则该矩形面积的取值范围是（　　）

• A． [m²，2m²]
• B． [2m²，3m²]
• C． [3m²，4m²]
• D． [4m²，5m²]

Answer 1

分析 在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，表示出圆的内接矩形长和宽，可得矩形的面积，由e∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{5}$]，∴$\frac{3}{4}≤\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{21}{25}$⇒2b≤a≤$\frac{5}{2}b$，得：4b²≤2ab≤5b²即可

解答 解：在第一象限内取点（x，y），设x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）
则椭圆的内接矩形长为2acosθ，宽为2bsinθ，
内接矩形面积为2acosθ•2bsinθ=2absin2θ≤2ab，
椭圆的离心率为e，且e∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{21}}{5}$]，∴$\frac{3}{4}≤\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}≤\frac{21}{25}$⇒2b≤a≤$\frac{5}{2}b$，
得：4b²≤2ab≤5b²，矩形面积的取值范围是[4m²，5m²]．
故选：D．

点评 本题考查了椭圆的简单性质，考查椭圆的参数方程的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．