Question

3．已知a、b是实数，矩阵M=$[\begin{array}{l}{a}&{-\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}}&{b}\end{array}]$所对应的变换T将点（2，2）变成了点P′（$\sqrt{3}$-1，$\sqrt{3}$+1）．
（1）求实数a、b的值；
（2）求矩阵M的逆矩阵N．

Answer 1

分析 （1）由题意，得2a-1=$\sqrt{3}$-1，1+2b=$\sqrt{3}$+1，解得即可，
（2）由（1），|N|=1，即可求矩阵M的逆矩阵N．

解答 解：（1）由题意，得2a-1=$\sqrt{3}$-1，1+2b=$\sqrt{3}$+1，
所以a=b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）由（1），|N|=1，得矩阵M的逆矩阵N=$[\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}}&{\frac{1}{2}}\\{-\frac{1}{2}}&{\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}]$．

点评 此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的乘法，逆矩阵，属于中档题．