Question

18．下列函数既是奇函数，又在[-1，1]上单调递增是（　　）

• A． f（x）=|sinx|
• B． f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$
• C． f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）
• D． f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）

Answer 1

分析 根据题意，依次分析4个选项所给函数的奇偶性与单调性，是否满足题意，即可得答案．

解答 解：根据题意，依次分析选项：
对于A、f（x）=|sinx|，有f（-x）=|sin（-x）|=|sinx|=f（x），为偶函数，不符合题意，
对于B、f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$，有$\frac{2-x}{2+x}$＞0，解可得-2＜x＜2，即其定义域为（-2，2），关于原点对称，又由f（-x）=ln$\frac{2+x}{2-x}$=-f（x），为奇函数，
令t=$\frac{2-x}{2+x}$=-1+$\frac{4}{x+2}$，在区间（-1，1）上为减函数，而y=lnt为增函数，
而f（x）=ln$\frac{2-x}{2+x}$在区间（-1，1）上为减函数，不符合题意，
对于C、f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x），其定义域为R，关于原点对称，又由f（-x）=$\frac{1}{2}$（e^-x-e^x）=-f（x），为奇函数，
函数y=e^x为增函数，而函数y=e^-x为减函数，
故函数f（x）=$\frac{1}{2}$（e^x-e^-x）在区间（-1，1）上为增函数，符合题意，
对于D、f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x），有$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x＞0，解可得x∈R，其定义域为R，关于原点对称，又由f（-x）=-f（x），为奇函数；
令t=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+1}+x}$，在区间（-1，1）为减函数，而y=lnt为增函数，
故f（x）=ln（$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x）在区间（-1，1）上为减函数，不符合题意，
故选：C．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性与单调性的判定方法，尤其复合函数单调性的判断方法．