Question

9．已知F₁和F₂分别是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左焦点和右焦点，点P（x₀，y₀）是椭圆C上一点，切满足∠F₁PF₂≥60°，则x₀的取值范围是（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
• C． [1，$\sqrt{2}$]
• D． [$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 设当点P在第一象限时，求出∠F₁PF₂=60°时，PF₂的大小，由焦半径公式的PF₂=a-ex₀解得x₀，根据对称性，则x₀的取值范围

解答 解：∵a=$\sqrt{2}$，b=1，∴c=1．
设当点P在第一象限时，|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则由椭圆的定义可得：t₁+t₂=2$\sqrt{2}$…①
在△F₁PF₂中，当∠F₁PF₂=60°，
所以t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=4…②，
由①-②得t₂=$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}$，
由焦半径公式的a-ex₀=$\sqrt{2}-\frac{\sqrt{6}}{3}$，解得x₀=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
当点P向y轴靠近时，∠F₁PF₂增大，根据对称性，则x₀的取值范围是：[-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$]
故选：B

点评 本题考查了椭圆的性质及焦点三角形的特征，属于中档题．