Question

1．椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，P为椭圆C上的一点，且位于第一象限，直线PO，PF分别交椭圆C于M，N两点．若△POF为正三角形，则直线MN的斜率等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$-1
• B． $\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$
• C． 2-$\sqrt{2}$
• D． 2-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由于|OF|为半焦距c，利用等边三角形性质，即可得点P的一个坐标，PF方程为：y=-$\sqrt{3}$（x-c）代入椭圆标准方程即可得N坐标，再用斜率公式，求解

解答 解：∵椭圆上存在点P使△AOF为正三角形，设F为左焦点，|OF|=c，P在第一象限，
∴点P的坐标为（$\frac{c}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}c$）代入椭圆方程得，$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}+\frac{{3c}^{2}}{4{b}^{2}}=1$．又因为a²=b²+c²，得到$c=（\sqrt{3}-1）a$．
椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的方程可设为：2$\sqrt{3}$x²+（4+2$\sqrt{3}$）y²=（2$\sqrt{3}$+3）c^2…①．
PF方程为：y=-$\sqrt{3}$（x-c）…②
由①②得N（（$\sqrt{3}-\frac{1}{2}$）c，$\frac{3\sqrt{3}-6}{2}c$），
M，P两点关于原点对称，∴M（-$\frac{c}{2}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$c）
直线MN的斜率等于$\frac{\frac{3\sqrt{3}-6}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}$．
故选：D

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系，计算量较大，属于中档题．