Question

13．设ϕ（x）是定义在[m，n]上的函数，若存在r∈（m，n），使得ϕ（x）在[m，r]上单调递增，在[r，n]上单调递减，则称ϕ（x）为[m，n]上的F函数．
（1）已知$ϕ（x）=\frac{x+a}{e^x}$为[1，2]上的F函数，求a的取值范围；
（2）设$ϕ（x）=px-（\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+\frac{{p{x^5}}}{5}）$，其中p＞0，判断ϕ（x）是否为[0，p]上的F函数？
（3）已知ϕ（x）=（x²-x）（x²-x+t）为[m，n]上的F函数，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出φ（x）的导数，求出极值点，由新定义求得a的范围；
（2）求出φ（x）的导数，运用零点存在定理可得?x₀∈（0，p），使得φ'（x₀）=0，⇒φ（x）在[0，x₀]上为单调递增，即可判断；
（3）求得ϕ（x）的导数，设方程2x²-2x+t=0的判别式为△=4-8t，讨论判别式小于等于0，或大于0，求出单调区间，由新定义即可得到所求范围．

解答 解：（1）$ϕ（x）=\frac{x+a}{e^x}$的导数为$ϕ'（x）=\frac{1-a-x}{e^x}$，
令φ'（x）=0⇒x=1-a∈（1，2）⇒a∈（-1，0），…（3分）
又φ（x）在[1，1-a]上为单调递增，在[1-a，2]上单调递减，
∴φ（x）为F函数⇒a∈（-1，0）…（4分）
（2）φ'（x）=p-（x+x²+x³+px⁴），x∈[0，p]⇒ϕ'（x）在[0，p]上为单调递减，…（6分）
又φ'（0）=p＞0，φ'（p）=-p²-p³-p⁵＜0，
∴?x₀∈（0，p），使得φ'（x₀）=0，⇒φ（x）在[0，x₀]上为单调递增，
在[x₀，p]上单调递减，⇒ϕ（x）是[0，p]上的F函数；          …（8分）
（3）ϕ（x）=（x²-x）（x²-x+t）的导数为ϕ'（x）=（2x-1）（2x²-2x+t），
方程2x²-2x+t=0的判别式为△=4-8t，
当△≤0即$t≥\frac{1}{2}$时，2x²-2x+t≥0恒成立，
此时$x≤\frac{1}{2}$时，ϕ'（x）≤0，ϕ（x）单调递减；$x≥\frac{1}{2}$时，ϕ'（x）≥0，ϕ（x）单调递增；
故ϕ（x）不是F函数．            …（9分）
当△＞0即$t＜\frac{1}{2}$时，
方程2x²-2x+t=0的两根分别为${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1-2t}}}{2}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1-2t}}}{2}$，
显然${x_1}＜\frac{1}{2}＜{x_2}$，且$ϕ'（x）=4（x-{x_1}）（x-\frac{1}{2}）（x-{x_2}）$，
⇒ϕ（x）在（-∞，x₁）和$（\frac{1}{2}，{x_2}）$上为减，在$（{x_1}，\frac{1}{2}）$和（x₂，+∞）上为增．
所以ϕ（x）是在D（D⊆[x₁，x₂]且D≠Φ）上的F函数．
综上所述，若ϕ（x）为[m，n]上的F函数，则t的取值范围为$（-∞，\frac{1}{2}）$…（12分）

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查导数的运用：求单调性，考查分类讨论和运算能力，属于中档题．