Question

6．已知F₁（-c，0），F₂（c，0）为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的两个焦点，点P（不在x轴上）为椭圆上的一点，且满足${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}={c^2}$，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）

• A． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1}）$
• B． $[{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}]$
• C． $[{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
• D． $（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$

Answer 1

分析 设P（x₀，y₀），（-a＜x₀＜a），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，可得${y}_{0}^{2}$=${b}^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$．于是c²=$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x₀）（c-x₀）+$（-{y}_{0}）^{2}$，代入化为：3c²=a²+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{x}_{0}^{2}$，即$\frac{3{e}^{2}-1}{{e}^{2}}$=$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$∈[0，1），解出即可得出．

解答 解：设P（x₀，y₀），（-a＜x₀＜a），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}$=1，∴${y}_{0}^{2}$=${b}^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$．
则c²=$\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（-c-x₀）（c-x₀）+$（-{y}_{0}）^{2}$，
∴2c²=${x}_{0}^{2}$+${b}^{2}（1-\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}）$，化为：3c²=a²+$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}{x}_{0}^{2}$，∴$\frac{3{e}^{2}-1}{{e}^{2}}$=$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}$∈[0，1），
解得：$\frac{1}{3}≤{e}^{2}$$＜\frac{1}{2}$，解得$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤e$＜\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量数量积的性质、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．