Question

13．已知函数f（x）=|xe^x|-m（m∈R）有三个零点，则m的取值范围为（0，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 函数f（x）=|xe^x|-m（m∈R）有三个零点，转化为方程|xe^x|=m有三个不相等的实数解，即y=m与函数y=|xe^x|的图象有三个交点，利用导数法分析f（x）=xe^x的单调性和极值，进而结合函数图象的对折变换画出函数y=|xe^x|的图象，数形结合可得答案．

解答 解：函数f（x）=|xe^x|-m（m∈R）有三个零点，令g（x）=xe^x，则g′（x）=（1+x）e^x，
当x＜-1时，g′（x）＜0，当x＞-1时，g′（x）＞0，
故g（x）=xe^x在（-∞，-1）上为减函数，在（-1，+∞）上是减函数，
g（-1）=-$\frac{1}{e}$，
又由x＜0时，g（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0，
故函数y=|xe^x|的图象如下图所示：

故当m∈（0，$\frac{1}{e}$）时，y=m与函数y=|xe^x|的图象有三个交点，
即方程|xe^x|=m有三个不相等的实数解，
故m的取值范围是（0，$\frac{1}{e}$），
故答案为：（0，$\frac{1}{e}$）．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数，函数的极值的求法，其中结合函数图象的对折变换画出函数y=|xe^x|的图象，是解答的关键．