Question

2．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx cosωx-sin²ωx+1（ω＞0）相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，且满足a=$\sqrt{3}$，f（A）=1，求△ABC 面积 S 的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化简，结合已知求得ω，再由复合函数的单调性求得函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）由f（A）=1求得A，再由余弦定理结合基本不等式求得bc的最大值，则△ABC 面积 S 的最大值可求．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx cosωx-sin²ωx+1=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx$$-\frac{1-cos2ωx}{2}+1$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx+\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{1}{2}$=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
∵相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，∴$\frac{T}{2}=\frac{π}{2}$，则T=π=$\frac{2π}{2ω}$，则ω=1．
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ$，k∈Z．
∴f（x）的单调递减区间为[$\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ$]，k∈Z；
（Ⅱ）由f（A）=1，得sin（2A+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$=1，即sin（2A+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵2A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}$），∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，则A=$\frac{π}{3}$．
由a²=b²+c²-2bccosA，得$3={b}^{2}+{c}^{2}-2bc×\frac{1}{2}={b}^{2}+{c}^{2}-bc$，
则bc≤3，当且仅当b=c时“=”成立．
∴$（{S}_{△ABC}）_{max}=\frac{1}{2}bc•sinA=\frac{1}{2}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角形的解法，是中档题．