Question

9．如图，在△ABC中，$cos\frac{1}{2}∠ABC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}，AB=2$，点D在线段AC上，且AD=2DC，BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，则cosC=$\frac{7}{9}$．则三角形ABC的面积为2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，$cos\frac{1}{2}∠ABC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，由半角公式可得cosB=$\frac{1}{3}$，在△ABC，和ABD，BDC中利用余弦定理关系，求解边长BC和AC．可得cosC和三角形ABC的面积

解答 解：在△ABC中，$cos\frac{1}{2}∠ABC=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，由半角公式可得cosB=$\frac{1}{3}$，
在△ABC中，设BC=a，AC=3b，则由余弦定理可得cos∠ADB=$\frac{4{b}^{2}+\frac{16}{3}-4}{4b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$
cos∠CDB=$\frac{{b}^{2}+\frac{16}{3}-{a}^{2}}{2b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$
∵∠ADB与∠CDB互补，
∴cos∠ADB=-cos∠CDB，
∴$\frac{4{b}^{2}+\frac{16}{3}-4}{4b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{{b}^{2}+\frac{16}{3}-{a}^{2}}{2b×\frac{4\sqrt{3}}{3}}$…①
由cosB=$\frac{1}{3}$=$\frac{4+{a}^{2}-9{b}^{2}}{8a}$…②
由①②解得a=3，b=1，
BC=3，AC=3，
那么cosC=$\frac{B{C}^{2}+A{C}^{2}-A{B}^{2}}{2BC•AC}$=$\frac{18-4}{18}=\frac{7}{9}$．
则sinC=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
∴三角形ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$BC•ACsinC=2$\sqrt{2}$．
故答案为：$\frac{7}{9}$，2$\sqrt{2}$

点评 本题考查三角形中余弦定理的灵活应用，考查转化思想和方程思想，以及化简计算能力．属于中档题．