Question

14．已知函数f（x）=|2x-a|+|2x-1|（a∈R）．
（1）当a=-1时，求f（x）≤2的解集；
（2）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合$[{\frac{1}{2}，1}]$，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据绝对值的选项得到f（x）≥2，求出满足条件的x的值即可；
（2）根据绝对值的性质求出x的范围，结合集合的包含关系求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=|2x+1|+|2x-1|≥|2x+1-2x+1|=2，
即x=±$\frac{1}{2}$时，“=”成立，
故不等式的解集是{x|x=±$\frac{1}{2}$}；
（2）由|2x-a|+|2x-1|≤|2x+1|得：|2x-a|≤|2x+1|-|2x-1|≤|2x+1-2x-1|=2，
故-2≤2x-a≤2，故$\frac{a-2}{2}$≤x≤$\frac{a+2}{2}$，
故[$\frac{1}{2}$，1]⊆[$\frac{a-2}{2}$，$\frac{a+2}{2}$]，
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a-2}{2}≤\frac{1}{2}}\\{\frac{a+2}{2}≥1}\end{array}\right.$，解得：a∈[0，3]．

点评 本题考查了绝对值的性质，考查集合的包含关系以及转化思想，是一道中档题．