Question

6．关于x的方程$x={log_a}（-{x^2}+2x+a）$（a＞0，且a≠1）解的个数是（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． 0
• D． 不确定的

Answer 1

分析 由题意a^x=-x²+2x+a，-x²+2x+a＞0，令f（x）=a^x，g（x）=-x²+2x+a，分类讨论，即可得出结论．

解答 解：由题意a^x=-x²+2x+a，-x²+2x+a＞0．
令f（x）=a^x，g（x）=-x²+2x+a，
（1）当a＞1时，
f（x）=a^x在（-∞，+∞）上单调递增，且f（0）=1，f（1）=a，
g（x）=-x²+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，
在[0，1]上，f（x）＜g（x），
∵g（x）在x＜0及x＞1时分别有一个零点，而f（x）恒大于零，
∴f（x）与g（x）的图象在x＜0及x＞1时分别有一个交点，
∴方程有两个解；
（2）当a＜1时，
f（x）=a^x在（-∞，+∞）上单调递减，且f（0）=1，f（1）=a，
g（x）=-x²+2x+a在[0，1]上单调递增，在[1，+∞）上单调递减，且g（0）=a，g（1）=1+a，
f（0）＞g（0），f（1）＜g（1），
∴在（0，1）上f（x）与g（x）有一个交点，
又g（x）在x＞1时有一个零点，而f（x）恒大于零，
∴f（x）与g（x）的图象在x＞1时还有一个交点，
∴方程有两个解．
综上所述，方程有两个解．
故选：A．

点评 本题考查根的存在性及个数的判断，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．