Question

17．已知函数f（x）=ax³-bx+4，当x=2时，函数f（x）取得极值$-\frac{4}{3}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=k有3个不等的实数解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，利用导函数为0，求出极值点，结合极值，列出方程求解函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函数的单调性以及极值，通过f（x）=k有3个不等的实数解，求出k的范围．

解答 解：（Ⅰ）因为f'（x）=3ax²-b，
所以$\left\{\begin{array}{l}f'（2）=12a-b=0\\ f（2）=8a-2b+4=-\frac{4}{3}\;\end{array}\right.$，解得$a=\frac{1}{3}\;，\;b=4$．…（4分）
所以函数的解析式为$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4x+4$，
所以f'（x）=x²-4=（x+2）（x-2），
所以函数f（x）在（-∞，-2）上递增，在（-2，2）上递减，在（2，+∞）上递增，…（8分）
所以f（x）在x=-2时取得极大值$\frac{28}{3}$，在x=2时取得极小值$-\frac{4}{3}$，…（10分）
因为方程f（x）=k有3个不等的实数解，所以$-\frac{4}{3}＜k＜\frac{28}{3}$．…（12分）

点评 本题考查函数的极值以及函数的单调性的应用，考查转化思想以及计算能力．