Question

12．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+1与圆x²+y²=4相交于A，B两点，则cos∠AOB=（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{5}}}{10}$
• B． $-\frac{{\sqrt{5}}}{10}$
• C． $\frac{9}{10}$
• D． $-\frac{9}{10}$

Answer 1

分析 求出圆心到直线y=2x+1的距离，由垂径定理得AB，利用余弦定理，可得结论．

解答 解：因为圆心到直线y=2x+1的距离$d=\frac{1}{{\sqrt{4+1}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
由垂径定理得：${（\frac{1}{2}AB）^2}+{d^2}={R^2}$$⇒A{B^2}=4（{r^2}-{d^2}）=4×（4-\frac{1}{5}）=\frac{76}{5}$
∴由余弦定理有$cos∠AOB=\frac{{4+4-\frac{76}{5}}}{2×2×2}=-\frac{9}{10}$，
故选D．

点评 本题考查点到直线距离公式的运用，考查垂径定理、余弦定理的运用，属于中档题．