Question

4．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（2-x），当x∈[0，2]时，f（x）=-4x²+8x．若在区间[a，b]上，存在m（m≥3）个不同整数x_i（i=1，2，…，m），满足$\sum_{i=1}^{m-1}$|f（x_i）-f（x_i+1）|≥72，则b-a的最小值为（　　）

• A． 15
• B． 16
• C． 17
• D． 18

Answer 1

分析 根据已知可得函数周期为8，且函数的图形关于x=2对称，从而画出函数图象，结合图象，要使b-a取最小值，则不同整数x_i为极值点即可．

解答 解：定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（2-x），得f（x+2+2）=f（2-x-2）=f（-x）=-f（x），即f（x+4）=-f（x），
则f（x+4）=-f（x+4）=-[-f（x）]=f（x）．∴f（x）的周期为8．函数f（x）的图形如下：

比如，当不同整数x_i分别为-1，1，2，5，7…时，b-a取最小值，∵f（-1）=-4，f（1）=4，f（2）=0，
至少需要2个+$\frac{1}{4}$个周期，则b-a的最小值为18，
故选：D

点评 本题考查了奇函数的性质，数形结合是解题的关键，属于中档题．