Question

19．如图，有一个正三棱锥的零件，P是侧面ACD上的一点．过点P作一个与棱AB垂直的截面，怎样画法？并说明理由．

Answer 1

分析 过点P作一个与棱AB垂直的截面，实质就是证明AB垂直这个截面，由正三棱锥的性质可证CD⊥AB，构造截面的另一边与AB垂直即可．
法一，在平面ACD中，过P点作EF∥CD，交AC于E点，交AD于F点，再过E点作EG⊥AB，连接FG，平面EFG为所求．
法二，过C在平面ABC内M作CE⊥AB，垂足为E．连接DE．过点P作MN∥CD，交AC于M，AD于N．过M作MH∥CE，交AE于H，连接HN，平面HMN为所求

解答 解：（方法一）
画法：过点P在面ACD内作EF∥CD，交AC于E点，交AD于F点．
过E作EG⊥AB，连接FG，平面EFG为所求．----（4分）
理由：取CD中点M，连接AM，BM．
∵A-BCD为正三棱锥，
∴AC=AD，BC=BD，
∴BM⊥CD，AM⊥CD，----（6分）
AM∩BM=M，
AM?平面ABM，BM?平面ABM，
∴CD⊥平面ABM．----（8分）
∵AB?平面ABM，
∴CD⊥AB．
∵EF∥CD，
∴EF⊥AB．----（10分）
过E作EG⊥AB，连接FG，
∵EF∩EG=E．
EF?面EFG，EG?面EFG，∴AB⊥面EFG．----（12分）
（方法二）
画法：过C在平面ABC内M作CE⊥AB，垂足为E．连接DE．
过点P作MN∥CD，交AC于M，AD于N．
过M作MH∥CE，交AE于H，连接HN，平面HMN为所求．----（4分）
理由：∵△ABC≌△ABD，
∴DE⊥AB．----（6分）
∵$\frac{AH}{HE}=\frac{AM}{MC}$，$\frac{AM}{MC}=\frac{AN}{ND}$，
∴$\frac{AH}{HE}=\frac{AN}{ND}$，
∴HN∥DE，----（8分）
∴AB⊥HN．
由画法知，AB⊥HM，
∵HM∩HN=H，
HM?面MNH，HN?面MNH，
∴AB⊥平面MNH．----（12分）

点评 本题主要考查了线线垂直和线面垂直的判定定理，它们之间的转化是关键，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．