Question

3．一栋高楼上安放了一块高约10米的LED广告屏，一测量爱好者在与高楼底部同一水平线上的C处测得广告屏顶端A处的仰角为31.80°．再向大楼前进20米到D处，测得广告屏顶端A处的仰角为37.38°（人的高度忽略不计）．
（1）求大楼的高度（从地面到广告屏顶端）（精确到1米）；
（2）若大楼的前方是一片公园空地，空地上可以安放一些长椅，为使坐在其中一个长椅上观看广告屏最清晰（长椅的高度忽略不计），长椅需安置在距大楼底部E处多远？已知视角∠AMB（M为观测者的位置，B为广告屏底部）越大，观看得越清晰．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得AD=$\frac{CDsin∠ACD}{sin∠CAD}$≈101.2，即可求大楼的高度；
（2）tanα=tan（∠AME-∠BME）=$\frac{10x}{{x}^{2}+3224}$=$\frac{10}{x+\frac{3224}{x}}$≤$\frac{10}{4\sqrt{806}}$，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，∠ACD=31.80°，∠ADE=37.78°，
∠CAD=5.98°，CD=20，
由正弦定理可得AD=$\frac{CDsin∠ACD}{sin∠CAD}$≈101.2，
∴AE=ADsin∠ADE≈62m；
（2）设∠AMB=α，$α∈（0，\frac{π}{2}）$，EM=x，x＞0，
tan∠AME=$\frac{62}{x}$，tan∠AME=$\frac{52}{x}$，
tanα=tan（∠AME-∠BME）=$\frac{10x}{{x}^{2}+3224}$=$\frac{10}{x+\frac{3224}{x}}$≤$\frac{10}{4\sqrt{806}}$
当且仅当x=$\sqrt{3224}$≈57m时，tanα取得最大值，此时α也最大．

点评 本题考查正弦定理的运用，考查差角的正切公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．