Question

8．已知函数$g（x）=（{x^2}-cosx）sin\frac{π}{6}$，对于$[{-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}}]$上的任意x₁，x₂，有如下条件：
①${x_1}^3＞{x_2}^3$；②|x₁|＞x₂；③x₁＞|x₂|；④$x_1^2＞x_2^2$．
其中能使g（x₁）＞g（x₂）恒成立的条件序号是③④．

Answer 1

分析 说明函数f（x）的奇偶性，利用导数说明函数f（x）单调性，由以上两性质可得f（x）图象类似于开口向上的抛物线，得出那个x离y轴远，对应的函数值就大．

解答 解：∵g（x）=$\frac{1}{2}$[（-x）²-cos（-x）]=$\frac{1}{2}$[x²-cosx]=g（x），
∴g（x）是偶函数，∴g（x）图象关于y轴对称，
∵g′（x）=x+$\frac{1}{2}$sinx＞0，x∈（0，$\frac{π}{2}$]，
∴g（x）在（0，$\frac{π}{2}$]上是增函数，在[-$\frac{π}{2}$，0）是减函数，
故③x₁＞|x₂|；④$x_1^2＞x_2^2$时，g（x₁）＞g（x₂）恒成立，
故答案为：③④．

点评 本题主要考查函数的单调性，奇偶性，用定义来说明．