Question

13．某厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每一小时可获得的利润是$50（5x-\frac{3}{x}+1）$元．
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于1500元，求x的取值范围；
（2）要使生产480千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件列出不等式求解即可．
（2）利用二次函数的性质，通过配方求解函数的最值即可．

解答 解：（1）根据题意，
有$100（5x-\frac{3}{x}+1）≥1500$，
得5x²-14x-3≥0，得x≥3或$x≤-\frac{1}{5}$，
又1≤x≤10，得3≤x≤10．
（2）生产480千克该产品获得的利润为$u=24000（5+\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}）$，1≤x≤10，
记$f（x）=-\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x}+5$，1≤x≤10，
则$f（x）=-3{（\frac{1}{x}-\frac{1}{6}）^2}+\frac{1}{12}+5$
当且仅当x=6时取得最大值$\frac{61}{12}$，
则获得的最大利润为$u=24000×\frac{61}{12}=122000$（元）
故该厂以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润为122000元．

点评 本题考查函数的实际应用，二次函数的性质，考查计算能力．