Question

14．设点P（x，y）是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-2y+1≥0}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，所表示的平面区域内的任意一点，向量$\overrightarrow{m}$=（1，1），$\overrightarrow{n}$=（2，1），点O是坐标原点．若向量$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{m}$+μ$\overrightarrow{n}$（λ，μ∈R），则λ-μ的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{3}{2}$，$\frac{2}{3}$]
• B． [-6，2]
• C． [-1，$\frac{7}{2}$]
• D． [-4，$\frac{2}{3}$]

Answer 1

分析 根据向量的坐标公式，求出P的坐标（x，y）满足x=λ+2μ，y=λ+μ），结合等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-2y+1≥0}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，转化为λ、μ的不等式组，利用线性规划求解．

解答 解：向量$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{m}$+μ$\overrightarrow{n}$=（λ+2μ，λ+μ）（λ，μ∈R），即P（λ+2μ，λ+μ），
设点P（x，y）是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{y≥0}\\{x-2y+1≥0}\\{x+y≤3}\end{array}\right.$，所表示的平面区域内的任意一点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ≥0}\\{λ+2μ-2（λ+μ）+1≥0}\\{λ+2μ+λ+μ≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{λ+μ≥0}\\{λ≤1}\\{2λ+3μ≤3}\end{array}\right.$…①
作出不等式组①对应的平面区域如图，则由图象可知，A点的坐标u最大，
目标函数z=λ-μ，变形为：μ=λ-z，
当直线μ=λ-z经过点A（-3，3）时，z最小为-6，当直线μ=λ-z经过点B（1，-1）时，z最大为2．
则λ-μ的取值范围是：[-6，2]，
故选：B．

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用向量的坐标公式，结合数形结合是解决本题的关键．