Question

3．已知函数f（x）是定义在[-e，0]∪（0，e]上的奇函数，当x∈[-e，0）时，有f（x）=ax-ln（-x）（其中e为自然对数的底，a∈R）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）试问是否存在实数a，使得当x∈（0，e]时，f（x）的最大值是2？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设x∈（0，-e]，则-x∈[-e，0），故f（-x）=-ax-ln（x），根据函数的奇偶性求出此时的解析式，即可得到函数在定义域内的解析式；
（2）假设存在实数a满足条件，通过讨论a的范围，利用函数的单调性求出函数的最小值，解出a的值即可．

解答 解：（1）当x∈（0，e]时，-x∈[-e，0），
则f（-x）=a（-x）-lnx，
又f（x）是奇函数，故f（x）=-f（-x）=ax+lnx，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ax-ln（-x），-e≤x＜0}\\{ax+lnx，0＜x≤e}\end{array}\right.$；
（2）当x∈（0，e]时，f（x）=ax+lnx，
f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$，
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在区间（0，e]递增，
故函数f（x）在区间（0，e]上的最大值是f（e）=ae+1=2，
故a=$\frac{1}{e}$＞0满足题意；
②当-$\frac{1}{a}$≥e，即-$\frac{1}{e}$≤a＜0时，f′（x）=a+$\frac{1}{x}$≥-$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{x}$≥-$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{e}$=0，
故f（x）在（0，e]递增，
此时f（x）在区间（0，e]的最大值是f（e）=ae+1=2，
则a=$\frac{1}{e}$＞0，不满足条件=$\frac{1}{e}$≤a＜0；
③当a＜-$\frac{1}{e}$时，可得f（x）在区间（0，-$\frac{1}{a}$]递增，在区间[-$\frac{1}{a}$，e]递减，
故x=-$\frac{1}{a}$时，f（x）_max=f（-$\frac{1}{a}$）=-1+ln（-$\frac{1}{a}$），
令f（-$\frac{1}{a}$）=2，得a=-$\frac{1}{{e}^{3}}$＞0$\frac{1}{e}$，不满足条件，
综上a=$\frac{1}{e}$时，函数f（x）在区间（0，e]上的最大值是2．

点评 本题考查对数函数的单调性和特殊点，函数的奇偶性，利用导数研究函数得最值，体现了分类讨论的数学思想，确定函数的最小值，是解题的难点和关键．