Question

13．已知f（x）是定义在区间（0，+∞）内的单调函数，且对?x∈（0，∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，设f′（x）为f（x）的导函数，则函数g（x）=f（x）-f′（x）的零点个数为（　　）

• A． 0
• B． l
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由设t=f（x）-lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，从而求出g（x）的解析式，根据函数的单调性求出函数的零点的个数即可．

解答 解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，
又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，
则f（x）-lnx为定值，
设t=f（x）-lnx，
则f（x）=lnx+t，
又由f（t）=e+1，
即lnt+t=e+1，
解得：t=e，
则f（x）=lnx+e，f′（x）=$\frac{1}{x}$＞0，
故g（x）=lnx+e-$\frac{1}{x}$，则g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
故g（x）在（0，+∞）递增，
而g（1）=e-1＞0，g（$\frac{1}{e}$）=-1＜0，
存在x₀∈（$\frac{1}{e}$，1），使得g（x₀）=0，
故函数g（x）有且只有1个零点，
故选：B．

点评 本题考查了导数的运算和零点存在定理，关键是求出f（x），属于中档题．