Question

19．设a＞0，函数f（x）=x²-2ax-2alnx
（1）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有唯一零点，试求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出a=1时f（x），利用导数f′（x）判断f（x）的单调性，并求出单调区间；
（2）求f（x）的导数f′（x），利用导数判断f（x）的单调性，求出最值，利用最值等于0，求出a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=x²-2ax-2alnx，
当a=1时，f（x）=x²-2x-2lnx，（其中x＞0）；
∴f′（x）=2x-2-$\frac{2}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2x-2}{x}$，
令f′（x）=0，即x²-x-1=0，
解得x=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（小于0，应舍去）；
∴x∈（0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）时，f′（x）＜0，
x∈（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）的单调减区间是（0，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$），
单调增区间是（$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）；
（2）f（x）=x²-2ax-2alnx，
则f′（x）=2x-2a-$\frac{2a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}-2ax-2a}{x}$，
令f′（x）=0，得x²-ax-a=0，
∵a＞0，
∴△=a²+4a＞0，
∴方程是解为x₁=$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$＜0，
x₂=$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}+4a}}{2}$＞0；
∴函数f（x）在（0，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增，
∴f（x）的大致图象如图所示，
求f（x）_min=f（x₂），
若函数y=f（x）在区间（0，+∞）上有唯一零点，
则f（x₂）=0，
而x₂满足x₂²=ax₂+a
∴f（x₂）=ax₂+a-2ax₂-2alnx₂=a（x₂+1-2x₂-2lnx₂）=0
得1-x₂-2lnx₂=0
∵g（x）=2lnx+x-1是单调增的，∴g（x）至多只有一个零点，
而g（1）=0，
∴用x₂=1代入x₂²-ax₂-a=0，
得1-a-a=0，即得a=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性，也考查了函数零点以及不等式的应用问题，是较难的题目．