Question

4．点P是圆O：x²+y²=4上一点，P在y轴上的射影为Q，点G是线段PQ的中点，当P在圆上运动时，点G的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）动直线l与圆O交于M，N两点，与曲线C交于E，F两点，当钝角△OMN的面积为$\frac{8}{5}$时，∠EOF的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设点G的坐标为（x，y），结合题意求出其轨迹方程即可；
（Ⅱ）设O到直线l的距离为d，根据三角形的面积求出d的值，分别设出E、F的坐标，结合点到直线的结论公式以及向量的垂直关系判断即可．

解答 解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x，y），点P的坐标为（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{x}_{0}}{2}}\\{y{=y}_{0}}\\{{{x}_{0}}^{2}{{+y}_{0}}^{2}=4}\end{array}\right.$，
消去x₀，y₀得$\frac{{y}^{2}}{4}$+x²=1，即为所求轨迹C的方程．
（Ⅱ）设O到直线l的距离为d，则|AB|=2$\sqrt{4{-a}^{2}}$，
S_△OMN=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{4{-a}^{2}}$×d=$\frac{8}{5}$，解得d²=$\frac{16}{5}$或$\frac{4}{5}$，
∵△OMN为钝角三角形（d＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$r），
∴d²=$\frac{4}{5}$，即d=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
（1）当l⊥x轴时，|x₁|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，代入C方程，得|y₁|=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
此时|x₁|=|y₁|，∴∠EOF=90°；
（2）当l不垂直于x轴时，设直线l：y=kx+m，
原点到直线l的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1{+k}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，即5m²=4k²+4（*），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{y}^{2}}{4}{+x}^{2}=1}\end{array}\right.$，消去y可得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{+x}_{2}=-\frac{2km}{4{+k}^{2}}}\\{{{x}_{1}x}_{2}=\frac{{m}^{2}-4}{4{+k}^{2}}}\\{△=16{（k}^{2}+4{-m}^{2}）＞0}\end{array}\right.$，
∵$\overrightarrow{OE}$•$\overrightarrow{OF}$=x₁x₂+y₁y₂
=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=$\frac{{5m}^{2}-{4k}^{2}-4}{4{+k}^{2}}$，
将（*）式代入上式，得x₁x₂+y₁y₂=0，即$\overrightarrow{OE}$⊥$\overrightarrow{OF}$，即∠EOF=90°．
由（1）、（2）可得，∠EOF是定值，且∠EOF=90°．

点评 本小题考查相关点法求轨迹方程、三角形面积公式、点到直线的距离公式、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合、化归与转化等数学思想．