Question

12．已知F₁、F₂是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 先设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长a₂，焦距2c．因为涉及椭圆及双曲线离心率的问题，所以需要找a₁，a₂，c之间的关系，而根据椭圆及双曲线的定义可以用a₁，a₂表示出|PF₁|，|PF₂|，在△F₁PF₂中根据余弦定理可得到$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}=4$，利用基本不等式可得结论．

解答 解：如图，设椭圆的长半轴长为a₁，双曲线的半实轴长为a₂，则根据椭圆及双曲线的定义：
|PF₁|+|PF₂|=2a₁，|PF₁|-|PF₂|=2a₂，
∴|PF₁|=a₁+a₂，|PF₂|=a₁-a₂，
设|F₁F₂|=2c，∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，则：
在△PF₁F₂中由余弦定理得，
4c²=（a₁+a₂）²+（a₁-a₂）²-2（a₁+a₂）（a₁-a₂）cos$\frac{π}{3}$
∴化简得：a₁²+3a₂²=4c²
$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}=4$，又因为$\frac{1}{{{e}_{1}}^{2}}+\frac{3}{{{e}_{2}}^{2}}≥2\frac{\sqrt{3}}{{e}_{1}{e}_{2}}$，∴e₁e₂≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选：C

点评 本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来，属于难题．