Question

7．已知a，b，c∈R，若|acos²x+bsinx+c|≤1对x∈R成立，则|asinx+b|的最大值为2．

Answer 1

分析 由题意，设t=sinx，t∈[-1，1]，则|at²-bt-a-c|≤1恒成立，不妨设t=1，则|b+c|≤1；t=0，则|a+c|≤1，t=-1，则|b-c|≤1，再分类讨论，利用绝对值不等式，即可得出结论．

解答 解：由题意，设t=sinx，t∈[-1，1]，则|at²-bt-a-c|≤1恒成立，
不妨设t=1，则|b+c|≤1；t=0，则|a+c|≤1，t=-1，则|b-c|≤1
若a，b同号，则|asinx+b|的最大值为|a+b|=|a+c+b-c|≤|a+c|+|b-c|≤2；
若a，b异号，则|asinx+b|的最大值为|a-b|=|a+c-b-c|≤|a+c|+|b+c|≤2；
综上所述，|asinx+b|的最大值为2，
故答案为2．

点评 本题考查绝对值不等式，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．