Question

9．已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在$x=-\frac{2}{3}$与x=1处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若对x∈R，f（x）有三个零点，求实数c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数导数，得到关于a，b的方程组，解出即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的极值，根据函数的零点的个数得到关于c的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）∵f'（x）=3x²+2ax+b
由已知有 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-\frac{2}{3}）=0}\\{f′（1）=0}\end{array}\right.$，解得a=-$\frac{1}{2}$，b=-2；
（2）由（1）得：f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c，
f′（x）=由f'（x）＞0得x＞1或x＜-$\frac{2}{3}$，
由f'（x）＜0得-$\frac{2}{3}$＜x＜1，
故当x=-$\frac{2}{3}$时，f（x）有极大值c+$\frac{22}{27}$，
当x=1时，f（x）有极小值c-$\frac{3}{2}$，
若对x∈R，f（x）有三个零点，
则$\left\{\begin{array}{l}{c+\frac{22}{27}＞0}\\{c-\frac{3}{2}＜0}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{22}{27}$＜c＜$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．