Question

盒子中装着有标数字1，2，3，4，5的上卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，按3张卡片上最大数字的8倍计分，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：
（1）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（2）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（3）计分不小于20分的概率．

Answer 1

分析：（1）根据“正难则反”的原则，记出事件：“一次取出的3张卡片上的数字互不相同的事件记为A”，“一次取出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为B，看出两个事件之间的互斥关系，得到结果．
（2）得到随机变量ξ有可能的取值，计算出各值对应的概率，列表写出分布列，代入公式得到数学期望．
（3）记出事件“一次取卡片所得计分小于20分”的事件记为C，看出事件所包含的几种情况，根据上面的分布列求和即可．

解答：解：（1）“一次取出的3张卡片上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3张卡片上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是互斥事件，
因为 P(B)=

C 1 5 • C 2 2 • C 1 8

C 3 10

=

1

3

所以 P(A)=1-P(B)=1-

1

3

=

2

3

．
（2）由题意ξ有可能的取值为：2，3，4，5．
所以 P(ξ=2)=

C 2 2 • C 1 2 + C 1 2 • C 2 2

C 3 10

=

1

30

； P(ξ=3)=

C 2 4 • C 1 2 + C 1 4 • C 2 2

C 3 10

=

2

15

； P(ξ=4)=

C 2 6 • C 1 2 + C 1 6 • C 2 2

C 3 10

=

3

10

； P(ξ=5)=

C 2 8 • C 1 2 + C 1 8 • C 2 2

C 3 10

=

8

15

；
所以随机变量ε的概率分布为

因此ε的数学期望为 Eε=2×

1

30

+3×

2

15

+4×

3

10

+5×

8

15

=

13

3

．
（3）“一次取卡片所得计分不小于20分”的事件记为C，则
P（C）=P（ε=3）+P（ε=4）+P（ε=5）=

2

15

+

3

10

+

8

15

=

29

30

．

点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，以及等可能事件的概率．