【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x﹣4.设圆C的半径为1,圆心在l上.
(1)若圆心C也在直线y=x﹣1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;
(2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.
【答案】
(1)解:联立得: ,
解得: ,
∴圆心C(3,2).
若k不存在,不合题意;
若k存在,设切线为:y=kx+3,可得圆心到切线的距离d=r,即 =1,
解得:k=0或k=﹣ ,
则所求切线为y=3或y=﹣ x+3;
(2)解:设点M(x,y),由MA=2MO,知: =2
,
化简得:x2+(y+1)2=4,
∴点M的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D,
又∵点M在圆C上,C(a,2a﹣4),
∴圆C与圆D的关系为相交或相切,
∴1≤|CD|≤3,其中|CD|= ,
∴1≤ ≤3,
解得:0≤a≤ .
【解析】(1)联立直线l与直线y=x﹣1解析式,求出方程组的解得到圆心C坐标,根据A坐标设出切线的方程,由圆心到切线的距离等于圆的半径,列出关于k的方程,求出方程的解得到k的值,确定出切线方程即可;(2)设M(x,y),由MA=2MO,利用两点间的距离公式列出关系式,整理后得到点M的轨迹为以(0,﹣1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D,由M在圆C上,得到圆C与圆D相交或相切,根据两圆的半径长,得出两圆心间的距离范围,利用两点间的距离公式列出不等式,求出不等式的解集,即可得到a的范围.
【考点精析】通过灵活运用点到直线的距离公式,掌握点到直线
的距离为:
即可以解答此题.
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【题目】已知等差数列{an}和等比数列{bn},其中{an}的公差不为0.设Sn是数列{an}的前n项和.若a1 , a2 , a5是数列{bn}的前3项,且S4=16.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(2)若数列{ }为等差数列,求实数t;
(3)构造数列a1 , b1 , a2 , b1 , b2 , a3 , b1 , b2 , b3 , …,ak , b1 , b2 , …,bk , …,若该数列前n项和Tn=1821,求n的值.
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【题目】某公司计划种植A,B两种中药材,该公司最多能承包50亩的土地,可使用的周转资金不超过54万元,假设药材A售价为0.55万元/吨,产量为4吨/亩,种植成本1.2万元/亩;药材B售价为0.3万元/吨,产量为6吨/亩,种植成本0.9万元/亩时公司的总利润最大,则A,B两种中药材的种植面积应各为多少亩,最大利润为多少万元?
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量 ,
,且
.
(1)求角B的大小;
(2)若b=2,△ABC的面积为 ,求a+c的值.
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准03.5,用水量不超过a的部分按照平价收费,超过a的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准,通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t),制作了频率分布直方图.
(1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失,请在图中将其补充完整;
(2)用样本估计总体,如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准03.5,则月均用水量的最低标准定为多少吨,请说明理由;
(3)从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数(同一组中的数据用该区间的中点值代表).
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【题目】如图,四棱锥 中,底面ABCD是直角梯形,
,
,平面
底面ABCD, O为AD的中点, M是棱PC上的点, AD=2AB.
(1)求证:平面 平面PAD;
(2)若 平面BMO,求
的值.
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【题目】已知函数f(x)=ex+ax﹣1(e为自然对数的底数). (Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(Ⅱ)若f(x)≥x2在(0,1)上恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】已知直线l过点P(﹣1,3). (Ⅰ)若直线l与直线m:3x+y﹣1=0垂直,求直线l的一般式方程;
(Ⅱ)写出(Ⅰ)中直线l的截距式方程,并求直线l与坐标轴围成的三角形的面积.
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