Question

已知圆C：x²＋y²－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：依题意，设l的方程为y＝x＋b①

x²＋y²－2x＋4y－4＝0②

联立①②消去y得：

2x²＋2(b＋1)x＋b²＋4b－4＝0，

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则有

③

∵以AB为直径的圆过原点，

∴，即x₁x₂＋y₁y₂＝0，

而y₁y₂＝(x₁＋b)(x₂＋b)＝x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²

∴2x₁x₂＋b(x₁＋x₂)＋b²＝0，

由③得b²＋4b－4－b(b＋1)＋b²＝0，

即b²＋3b－4＝0，∴b＝1或b＝－4，

∴满足条件的直线l存在，其方程为

x－y＋1＝0或x－y－4＝0.