Question

13．已知函数f（x）=x²+2x+alnx
（1）若a=-4，求函数f（x）的极值；
（2）若a=1时，证明f（x+1）≤x²+5x+3
（3）当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，试证明a≤2．

Answer 1

分析 （1）把a=-4代入得f（x），求出f′（x）＞0得函数的增区间，求出f′（x）＜0得到函数的减区间，即可得到函数的极小值；
（2）问题转化为证明ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，令m（x）=ln（1+x）-x，（x＞-1），根据函数的单调性证明即可；
（3）问题转化为t＞1时，a≤$\frac{{2（t-1）}^{2}}{ln\frac{{t}^{2}}{2t-1}}$恒成立，结合（2），求出a的范围即可．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=x2+2x-4lnx，f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=2x+2-$\frac{4}{x}$，（x＞0），
∴由f'（x）＞0，得：x＞1，由f'（x）＜0，得：0＜x＜1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴函数f（x）有极小值f（1）=3．
（2）易知要证f（x+1）≤x²+5x+3，
即证ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
令m（x）=ln（1+x）-x，（x＞-1），
则m′（x）=$\frac{-x}{1+x}$，
∴m（x）在x=0时取极大值，同时也是最大值，
故m（x）≤m（0）=0，
即ln（1+x）≤x在x＞-1恒成立；
（3）∵f（x）=x²+2x+alnx，
∴f（2t-1）≥2f（t）-3，
∴2t2-4t+2≥2alnt-aln（2t-1）=aln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$，
当t≥1时，t²≥2t-1，∴ln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$≥0，
即t＞1时，a≤$\frac{{2（t-1）}^{2}}{ln\frac{{t}^{2}}{2t-1}}$恒成立．
又易证ln（1+x）≤x在x＞-1上恒成立，
∴ln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$=ln[1+$\frac{{（t-1）}^{2}}{2t-1}$]≤$\frac{{（t-1）}^{2}}{2t-1}$＜（t-1）2在t＞1上恒成立，
当t=1时取等号，∴当t≥1时，ln $\frac{{t}^{2}}{2t-1}$≤（t-1）2，
∴由上知a≤2．故实数a的取值范围是（-∞，2]．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性及函数恒成立时所取的条件．考查考生的运算、推导、判断能力．