Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，且∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中点，MB⊥AC．
①求证：BM⊥平面ABC；
②求点M到平面BB₁C₁C的距离．

Answer 1

分析：①由于侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，M是A₁B₁的中点得BB₁=2，B₁M=1，然后在△BB₁M中，由余弦定理得：BM²=4+1-2×2×1×

1

2

=3利用勾股定理可得BM⊥A₁B₁，又BM⊥AC，得证BM⊥平面ABC
②直接求点M到平面BB₁C₁C的距离不好求，利用等体积法转化后可求得点到面的距离．

解答：①证明：∵∠A₁AB=60°∴∠BB₁M=60°
∵侧面ABB₁A₁是边长为2的菱形，M是A₁B₁的中点
∴BB₁=2，B₁M=1∴在△BB₁M中，
由余弦定理得：BM²=4+1-2×2×1×

1

2

=3，
∴BB₁²=BM²+BM²∴∠BMB₁=90°，
∴BM⊥A₁B₁
∴BM⊥AB∵BM⊥AC，AB∩AC=C，
∴BM⊥平面ABC
②解：连接MC₁，BC₁，取BC₁的中点O，连接OB₁，
由①知BM⊥平面ABC，
∴BM⊥平面A₁B₁C₁，
∵A₁B₁，MC₁?平面A₁B₁C₁
∴BM⊥MC₁，BM⊥A₁B₁，
又△A₁B₁C₁是正三角形，M为中点，∴A₁B₁⊥MC₁
∵MC₁∩BM=M，∴B₁M⊥面BMC₁．∴VB1-BMC1=

1

3

×1×

1

2

×

3

×

3

=

1

2

在RT△BMC₁中，BM=C₁M=

3

，∴C₁B=

6

∴BO=

6

2

，由于BB₁=B₁C₁=2，∴B₁O=

4- 6 4

=

10

2

设点M到平面BB₁C₁C的距离为h，
则VM-BB1C1   =

1

3

×h×S△BB1C1=

1

3

×h×

1

2

×

6

×

10

2

∵VB1-BMC1=VM-BB1C1  
∴h=

15

5

∴点M到平面BB₁C₁C的距离为

15

5

点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，注意余弦定理的应用，是个中档题．