Question

12．已知函数f（x）=e^x-t-lnx
（Ⅰ）若x=1是f（x）的极值点，求t的值，并讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）当t≤2时，证明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （I）由x=1是函数f（x）的极值点，可得f'（1）=0，进而可得t=1，求得导函数，进而可由导函数的符号与函数单调性的关系，可得函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当t≤2，x∈（0，+∞）时，设g（x）=e^x-2-lnx，g′（x）=e^x-2-$\frac{1}{x}$，根据函数单调性及零点定理可知存在x₀∈（1，2）使得g′（x₀）=0，在x=x₀取极小值也是最小值，即g（x）≥g（x₀），lnx₀=2-x₀，根据函数的单调性可知g（x₀）=0，即可证明f（x）＞0．

解答 解：（Ⅰ）由函数f（x）的定义域（0，+∞），
因为f′（x）=e^x-t-$\frac{1}{x}$，x=1是f（x）的极值点，
所以f′（1）=e^1-t-1=0，所以t=1，
所以f′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，
因为y=e^x-1和y=-$\frac{1}{x}$，在（0，+∞）上单调递增，
所以f′（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴当x＞1时，f′（x）＞0；0＜x＜1时，f′（x）＜0，
此时，f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+∞），
（Ⅱ）证明：当t≤2时，f（x）=e^x-t-lnx≥e^x-2-lnx，
设g（x）=e^x-2-lnx，则g′（x）=e^x-2-$\frac{1}{x}$，
因为y=e^x-2和y=-$\frac{1}{x}$，在（0，+∞）上单调递增，
所以g′（x）在（0，+∞）上单调递增，
因为g′（1）=$\frac{1}{e}$-1＜0，g′（2）=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$＞0，
所以存在x₀∈（1，2）使得g′（x₀）=0，
所以在（0，x₀）上使得g′（x）＜0，在（x₀，+∞）上g′（x）＞0，
所以g（x）在（0，x₀）单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
所以g（x）≥g（x₀），
因为g′（x₀）=0，即e^x₀-2=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
所以lnx₀=2-x₀，
所以g（x₀）=e^x₀-2-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2，
因为x₀∈（1，2），所以g（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$+x₀-2＞2-2=0，
所以f（x）＞0．

点评 本题考查利用导数求函数的单调性及极值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．