Question

（2013•茂名二模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），一条直线λx-y-2λ=0（λ∈R）．所经过的定点恰好是椭圆的一个定点，且椭圆的离心率为

1

2

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知圆O：x²+y²=r²（b＜r＜a），若另一条直线与椭圆C只有一个公共点M，且直线与圆O相切于点N，求|MN|的最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知直线可得y=λ（x-2），结合直线方程的点斜式可求直线经过的定点，即可求解a，由离心率e=

1

2

=

c

a

可求c，结合b²=a²-c²可求b，从而可求椭圆方程
（2）由题意可设直线l的方程为y=kx+t，由直线l与圆O相切可得r，t与k的关系式，然后联立直线与椭圆方程，由直线与椭圆C只有一个公共点可得k，t的关系，结合方程的根与系数关系及由ON⊥MN，利用勾股定理可得MN²=OM²-ON²，利用基本不等式即可求解最大值

解答：解：（I）解由λx-y-2λ=0可得y=λ（x-2），则直线经过定点（2，0）
∴a=2
由离心率e=

1

2

=

c

a

可知c=1
∴b²=a²-c²
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由题意可知，直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为y=kx+t
由直线l与圆O相切可得，r=

|t|

1+k2

即t²=r²（1+k²）①
由

x2 4 + y2 3 =1 y=kx+t

可得，（3+4k²）x²+8ktx+4t²-12=0（*）
∵直线与椭圆C只有一个公共点
∴△=（8kt）²-4（3+4k²）（4t²-12）=0
∴t²=3+4k²②
②代入（*）式可得，x_M=

-4kt

3+4k2

=-

4k

t

由ON⊥MN
可得MN²=OM²-ON²=xM2+yM2-r2=

1

4

xM2+3-r2=

4k2

3+4k2

+3-r2③
①②联立可得，k2=

r2-3

4-r2

④代入③可得MN2=7-r2-

12

r2

≤7-4

3

=(2-

3

)2
当且仅当r2=2

3

∈(3，4)时成立
∴MN的最大值为2-

3

点评：本题主要考查了了利用椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆相交关系、相切关系的应用及方程的根与系数关系的应用，本题具有一定的 综合性